Для нахождения объёма тетраэдра можно использовать определитель матрицы, составленной из векторов, emanating из одной вершины. В данном случае, мы возьмем точку A и посчитаем объем тетраэдра ABCD через векторы AB, AC и AD.

1. Найдем векторы:
[
\vec{AB} = B - A = (5 - 4, 4 - 1, 1 + 1) = (1, 3, 2)
]
[
\vec{AC} = C - A = (7 - 4, 3 - 1, 0 + 1) = (3, 2, 1)
]
[
\vec{AD} = D - A = (6 - 4, 4 - 1, 0 + 1) = (2, 3, 1)
]

2. Строим матрицу из векторов (\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}):
[
M = \begin{pmatrix}
1 & 3 & 2 \
3 & 2 & 3 \
2 & 1 & 1
\end{pmatrix}
]

3. Найдем определитель этой матрицы:
[
\text{det}(M) = 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 3 \ 1 & 1 \end{vmatrix} - 3 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 3 \ 2 & 1 \end{vmatrix} + 2 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 2 \ 2 & 1 \end{vmatrix}
]
- Вычислим минор:
[
\begin{vmatrix} 2 & 3 \ 1 & 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot 1 - 3 \cdot 1 = -1
]
[
\begin{vmatrix} 3 & 3 \ 2 & 1 \end{vmatrix} = 3 \cdot 1 - 3 \cdot 2 = 3 - 6 = -3
]
[
\begin{vmatrix} 3 & 2 \ 2 & 1 \end{vmatrix} = 3 \cdot 1 - 2 \cdot 2 = 3 - 4 = -1
]

Теперь подставим значения:
[
\text{det}(M) = 1 \cdot (-1) - 3 \cdot (-3) + 2 \cdot (-1) = -1 + 9 - 2 = 6
]

4. Объем тетраэдра можно вычислить как:
[
V = \frac{1}{6} |\text{det}(M)| = \frac{1}{6} \cdot 6 = 1
]
Таким образом, объём тетраэдра (ABCD) равен 1.

Теперь проверим объём, использую векторы ( \vec{BA}, \vec{BC}, \vec{BD} ).

1. Найдем векторы:
[
\vec{BA} = A - B = (4 - 5, 1 - 4, -1 - 1) = (-1, -3, -2)
]
[
\vec{BC} = C - B = (7 - 5, 3 - 4, 0 - 1) = (2, -1, -1)
]
[
\vec{BD} = D - B = (6 - 5, 4 - 4, 0 - 1) = (1, 0, -1)
]

2. Строим матрицу:
[
N = \begin{pmatrix}
-1 & 2 & 1 \
-3 & -1 & 0 \
-2 & -1 & -1
\end{pmatrix}
]

3. Найдем определитель:
[
\text{det}(N) = -1 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 0 \ -1 & -1 \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} -3 & 0 \ -2 & -1 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} -3 & -1 \ -2 & -1 \end{vmatrix}
]
- Вычислим минор:
[
\begin{vmatrix} -1 & 0 \ -1 & -1 \end{vmatrix} = -1 \cdot (-1) - 0 \cdot (-1) = 1
]
[
\begin{vmatrix} -3 & 0 \ -2 & -1 \end{vmatrix} = -3 \cdot (-1) - 0 \cdot (-2) = 3
]
[
\begin{vmatrix} -3 & -1 \ -2 & -1 \end{vmatrix} = (-3)(-1) - (-1)(-2) = 3 - 2 = 1
]

Теперь подставим значения:
[
\text{det}(N) = -1 \cdot 1 - 2 \cdot 3 + 1 \cdot 1 = -1 - 6 + 1 = -6
]

Таким образом,
[
V = \frac{1}{6} |\text{det}(N)| = \frac{1}{6} \cdot 6 = 1,
]

Ориентация векторов ((AB, AC, AD)) и векторов ((BA, BC, BD)) разная, потому что определитель (\text{det}(N)) оказался отрицательным, но оба объёма тетраэдра равны, что подтверждает правильность расчётов.

Таким образом, объём тетраэдра (ABCD) равен 1, а ориентация векторов (АВ, АС, АD) и (ВА, ВС, ВD) противоположные.