Для нахождения площади поверхности прямой треугольной призмы, необходимо сначала найти площадь основания (треугольника) и затем площади боковых граней.

1. Площадь основания:
Основание призмы — прямоугольный треугольник с катетами 9 и 12. Площадь прямоугольного треугольника рассчитывается по формуле:

[
S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b
]
где (a) и (b) — катеты треугольника.

Подставим значения:

[
S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 12 = \frac{1}{2} \cdot 108 = 54
]

2. Площадь боковых граней:
Призма имеет три боковые грани, каждая из которых является прямоугольником. Площадь каждой грани вычисляется как произведение стороны основания на высоту призмы.

- Для катета 9:
[
S_1 = 9 \cdot 8 = 72
]

- Для катета 12:
[
S_2 = 12 \cdot 8 = 96
]

- Для гипотенузы. Сначала найдем длину гипотенузы (c) с помощью теоремы Пифагора:
[
c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15
]
Площадь боковой грани, основанной на гипотенузе:
[
S_3 = 15 \cdot 8 = 120
]

Теперь суммируем площади боковых граней:
[
S_{\text{бок}} = S_1 + S_2 + S_3 = 72 + 96 + 120 = 288
]

3. Общая площадь поверхности призмы:
Площадь поверхности призмы будет равна сумме площади основания и площади боковых граней (учитываем два основания):

[
S_{\text{пов}} = 2 \cdot S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}} = 2 \cdot 54 + 288 = 108 + 288 = 396
]

Таким образом, площадь поверхности прямой треугольной призмы равна 396.