В каждом предложении причастный оборот нужно правильно согласовать и расположить. Вот исправленные варианты:

1. Каждый раз, увидев чьи-то ноги, у Мастера замирало сердце.
(Правильно)

2. Читая «Грозу» А.Н. Островского, мы видим образы представителей «тёмного царства».
(Исправлено так, чтобы подлежащее совпадало с действием - «мы»)

3. Прочитав книгу, я заинтересовался её героями.
(Исправлено так, чтобы подлежащее совпадало с действием - «я»)

4. Начав читать новую книгу, я был затянут и стал думать.
(Исправлено так, чтобы подлежащее совпадало с действием - «я»)

5. Идя на свой первый бал, Наташа Ростова испытывала естественное волнение.
(Исправлено так, чтобы подлежащее совпадало с действием - «Наташа Ростова»)

6. Заглянув на урок, директор увидел интересную картину.
(Исправлено так, чтобы подлежащее совпадало с действием - «директор»)

7. Возвращаясь домой, я увидел в небе высоко стоящую луну.
(Исправлено так, чтобы подлежащее совпадало с действием - «я»)

8. Прославив своё имя исследованиями болезней и применением вакцин, я завел замечательные отношения со всеми учеными.
(Исправлено так, чтобы подлежащее совпадало с действием - «я»)

9. Приступая к написанию сочинения-рассуждения на ЕГЭ, я учитываю авторскую позицию.
(Исправлено так, чтобы подлежащее совпадало с действием - «я»)

Надеюсь, это поможет!