Чтобы функция (\varphi(s) = \frac{\alpha + \beta s}{1 - \delta s}) была производящей функцией, необходимо, чтобы она удовлетворяла определённым условиям. Основные условия для производящей функции:

1. Неотрицательность: Значения функции должны быть неотрицательными для всех (s \in [0, 1)).
2. Коэффициенты: Значения параметров (\alpha), (\beta), и (\delta) должны обеспечивать, что функция представима в виде ряда Тейлора с неотрицательными коэффициентами.

В частности, в данной функции:

- ( \alpha ) – это значение функции при (s=0), поэтому для того, чтобы функция начиналась с неотрицательного значения, необходимо, чтобы (\alpha \geq 0).
- ( \beta ) должен быть неотрицательным, так как он отвечает за линейный член в разложении, чтобы не возникало отрицательных коэффициентов.

Также важно учитывать поведение функции (\varphi(s)) при (s \to 1) (но оставаясь в пределах от (0) до (1)). Чтобы функция имела конечный предел при (s \to 1), необходимо, чтобы знаменатель (1 - \delta s) не обнулялся, что обеспечивается условием (\delta < 1).

Таким образом, подводя итог можно записать следующие условия для параметров:

- (\alpha \geq 0)
- (\beta \geq 0)
- (\delta \in [0, 1))

При выполнении этих условий функция (\varphi(s)) будет являться производящей функцией.