Доказательство начнем с рассмотрения выпуклого четырехугольника (ABCD) с заданными условиями: (AD = BC) и (\angle ABD + \angle CDB = 180^\circ).

1. Поскольку (\angle ABD + \angle CDB = 180^\circ), это означает, что точки (A), (B), (C) и (D) расположены так, что прямая (AC) проходит через точки (B) и (D), что делает (ABCD) выпуклым. Это также означает, что углы (ABD) и (CDB) являются смежными.

2. Рассмотрим треугольники (ABD) и (CDB). У нас есть:
- (AD = BC) (по условию)
- (\angle ABD + \angle CDB = 180^{\circ}), следовательно, они являются дополнительными углами.

3. В треугольниках (ABD) и (CDB) мы можем использовать признак равенства треугольников. Однако, для этого нам нужно будет найти еще один элемент, чтобы показать, что углы ( \angle BAD ) и ( \angle BCD ) равны.

4. Из условия, если (\angle ABD + \angle CDB = 180^{\circ}), это также означает, что

[
\angle CDB = 180^\circ - \angle ABD.
]

5. Теперь используем тот факт, что в выпуклом четырехугольнике сумма углов равна (360^\circ):

[
\angle BAD + \angle ABD + \angle CDB + \angle BCD = 360^\circ.
]

6. У нас есть:

[\angle CDB = 180^\circ - \angle ABD.]

7. Подставив, получаем:

[
\angle BAD + \angle ABD + (180^\circ - \angle ABD) + \angle BCD = 360^\circ,
]
что сводится к

[
\angle BAD + 180^\circ + \angle BCD = 360^\circ.
]

8. Упрощая это, мы получаем:

[
\angle BAD + \angle BCD = 180^\circ.
]

9. Итак, мы видим, что (\angle BAD) и (\angle BCD) являются дополнительными углами, то есть

[
\angle BAD = \angle BCD.
]

Таким образом, мы доказали, что (\angle BAD = \angle BCD).

Являясь равными, мы можем заключить, что:

[
\angle B_{A}D = \angle BCD.
]

Следовательно, (\angle BAD = \angle BCD) завершает наше доказательство.