Для анализа задачи о вращающемся диске можно использовать понятия линейной и угловой характеристики движения.

1. Направления линейных и угловых характеристик:

- Угловая скорость (ω) — это скорость смены угла поворота диска во времени.
- Угловое ускорение (α) — это изменение угловой скорости во времени.
- Линейная скорость (v) — это скорость точки на диске, находящейся на расстоянии r от оси вращения.
- Тангенциальное ускорение (a_t) — это ускорение точки на диске, направление которого совпадает с направлением линейной скорости.

На рисунке можно изобразить диск с координатами:
- Ось вращения (передать направление угловых характеристик).
- Точками на расстоянии ( r = R/3 ), где R — радиус диска.
- Стрелки, указывающие направлении линейных и угловых характеристик (например, стрелка для угловой скорости будет выходить из центра диска, а стрелка для линейной скорости будет касательной к окружности на расстоянии r).

2. Угловая скорость и угловое ускорение:

Дано уравнение угла поворота:
[
2\phi = A + Bt + Ct^2
]
где:
- ( B = 0.2 , \text{рад/с} )
- ( C = 0.1 , \text{рад/с}^2 )

Чтобы найти угловую скорость ( ω(t) ):
[
ω(t) = \frac{d\phi}{dt} = \frac{1}{2}(B + 2Ct) = \frac{1}{2}(0.2 + 0.2t)
]
Подставим ( t = 12 , \text{с} ):
[
ω(12) = \frac{1}{2}(0.2 + 2.4) = \frac{1}{2} \cdot 2.6 = 1.3 , \text{рад/с}
]

Угловое ускорение ( α(t) ) будет равно производной от угловой скорости:
[
α(t) = \frac{dω}{dt} = 0.1 , \text{рад/с}^2
]
(поскольку производная от B = 0.2 постоянна, а производная от Ct дает 2C).

3. Линейная скорость и тангенциальное ускорение:

Линейная скорость для точки на расстоянии ( r ) от оси вращения:
[
v = r \cdot ω
]
где ( r = \frac{R}{3} = \frac{12 , \text{см}}{3} = 4 , \text{см} = 0.04 , \text{м} ):
[
v = 0.04 \cdot 1.3 = 0.052 , \text{м/с}
]

Тангенциальное ускорение:
[
a_t = r \cdot α = 0.04 \cdot 0.1 = 0.004 , \text{м/с}^2
]

4. Итоги и графические отметки:

Таким образом, через 12 с после начала движения:
- Угловая скорость ( ω = 1.3 , \text{рад/с} )
- Угловое ускорение ( α = 0.1 , \text{рад/с}^2 )
- Линейная скорость ( v = 0.052 , \text{м/с} )
- Тангенциальное ускорение ( a_t = 0.004 , \text{м/с}^2 )

На рисунке можно показать эти значения с указанием направлений и величин, обозначив их соответствующими стрелками.